傅里叶的成就

傅里叶变换的本质是什么?

作者:July、dznlong   二零一一年二月二十日

        任何读过大学的同学,都多少会接触到傅里叶变换,因为傅里叶变换在很多方面都有应用,只要涉及到信号与系统的地方,都会提及到傅里叶变换,在维基百科中,傅里叶变换描述成一个将时间转换成频率的方法,这似乎有点抽象,本人近期在研究信号与系统过程中,对傅里叶也做了深入了解,由此有空谢谢博客分享下。想了解傅里叶变换的由来,先需了解傅里叶级数。

作为法国历史上非常有名的物理学家以及数学家,傅里叶可以说是家喻户晓的,同时,傅里叶的成就也是颇丰的,那么,他到底有着哪些成就呢?

傅里叶变换的公式为

推荐阅读:The Scientist and Engineers Guide to Digital Signal
Processing
,By Steven W. Smith, Ph.D。此书地址

(一)(周期信号)傅里叶级数

        傅里叶级数是由傅里叶在1807年发表的论文《Mémoire sur la
propagation de la chaleur dans les corps
solides
》首次提出,初始提出的观点是:任何函数能用一系列三角函数的和所表示。其实傅里叶不是第一个提出该想法的人,在1753年伯努利已经提出过:一根弦的实际运动都可以用标准震荡模的线性组合来表示,但是他没有深入探讨,因此,这个概念在数学上没有做深入研究,傅里叶在论文中刚提出这一概念时,反对者多数觉得三角函数无法表示间断点的值,其中最突出的是拉格朗日,这在数学上曾经有一段争议,直到1829年狄利赫里对信号给出若干精确的条件后,傅里叶函数才得以发展。大家可能会担心在应用中遇到超出狄利赫里条件的信号咋办,然而现实中,超出狄利赫里条件的信号几乎不存在,因此傅里叶变换在信号分析中,也得以普及,以及在系统分析,微分方程求取方面得以应用。

        按照傅里叶提出的观点:任何满足狄利克雷条件的周期函数能用一系列三角函数的的和所表示。对于非数学专业,没必要懂得推导过程,自然界中的信号基本上都满足狄利克雷条件,因此在应用上,没有太多的难处,狄利克雷三个条件分别为(参考《信号与系统》):

        条件一:在任何周期内,x(t)在周期内必须绝对可积,即:

图片 1

                            这个条件保证了每一个傅里叶系数都是有限值。

        条件二:在任何单个周期内,x(t)的最大值最小值的数目有限。

        条件三:在x(t)的任何有限区间内,只有有限个不连续点,而且在这些不连续点上,函数是有限值。

        三角函数的三要素分别为幅值,频率与相位,根据该观点,假设要表示的周期函数为x(t),则其三角函数展开式可表示为如下式子:】

图片 2

公式(1)

        其中,T表示信号的周期,n为连续整数,基频w0=2*pi/T,由于T是x(t)的周期,因此w0是一系列三角函数的最小频率,即基频,φ表示信号的相位。

        根据三角公式,可对正弦函数进行拆分:

图片 3

公式(2)

        通过该公式,我们可以将x(t)写成如下形式:

图片 4

公式(3)

        这就是我们傅里叶级数的雏形,即任何周期函数都可以表示成正弦函数与余弦函数的线性叠加。

        同时利用欧拉公式,可对正弦函数与余弦函数可进行以下拆分:

图片 5

公式(4)

图片 6

公式(5)

我们对公式(3)可做以下化简:

图片 7

傅里叶级数化简过程

我们令Cn=an-j*bn,同时合并同类项,则上式可进行进一步化简:

图片 8

公式(6)

        由此,我们得到了周期函数的两种表现形式,公式(3)中的三角函数表示形式和公式(6)中的指数形式。看到了指数形式,我们是否觉得该形式与傅里叶变换很相像?

        接下来,我们需要求取an,bn,cn与x(t)之间的关系,那么x(t)便能用三角函数或者复指数的线性叠加方式来表示。此处先给出an,bn的公式,其推导过程在后续的其他文章会仔细分析。

图片 9

傅里叶系数

则x(t)用复指数方式表示为:

图片 10

公式(7)

        公式(7)便是我们标准的傅里叶级数表达式。

图片 11

图片 12

博主说明:I、本文中阐述离散傅里叶变换方法,是根据此书:The Scientist and
Engineers Guide to Digital Signal Processing,By Steven W. Smith,
Ph.D.而翻译而成的,此书地址:

(二)(非周期信号)傅里叶变换

        在上一节的推导过程中,我们从傅里叶所提出的想法:任何周期信号都可以表示成一系列三角级数的和,由此推导出了用三角函数以及复指数表示周期函数x(t)的公式。那么与我们常见的傅里叶变换与反变换有什么关系呢?先给出傅里叶变换与反变换的表达式:

图片 13

傅里叶变换与反变换

        该变换关系从傅里叶级数公式变换而来,而且傅里叶变换的应用不仅仅限于周期信号,同时适用于非周期信号:

图片 14

傅里叶级数

       
是否还记得,我们上一节中由傅里叶提出的结论推导而来,其中一个重要条件是所表示的函数是周期函数,假设我们使用的函数x(t)的周期无限大,那么该函数便成为非周期函数,我们用y(t)表示非周期函数,则根据傅里叶级数,由于周期变得无限大,那么基频w0=2*pi/T,将变得无限小,此时我们用w表示w0,而n*w0也变为无限小,将其从-N到N的求和将变为从-∞到+∞的积分,其变化过程如下:

图片 15

傅里叶级数转成傅里叶变换过程

在变换过程中,几点需要说明:

1、当T趋向于无穷大时候,我们的积分变量n与无限小的基频w0相乘,因此在乘式项中表现为变量w,并且由于n从负无穷到正无穷,因此w也相应从负无穷到正无穷

2、2/T该无穷小量,通过用2*pi/T,转化为△w,作为一个无穷小量,用于后面的积分

        两层积分可以还原信号y(t),取第一层对t的积分作为傅里叶变化,外一层的积分作为傅里叶反变换,由此推导出傅里叶变换与反变换的公式。

可以把傅里叶变换也成另外一种形式:

。这年头,真正静下心写来原创文章的人,很少了。

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上
前言
第一部分、  DFT
第一章、傅立叶变换的由来
第二章、实数形式离散傅立叶变换(Real DFT)

第三章、复数
第四章、复数形式离散傅立叶变换

 

前言: “关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解”—dznlong,

那么,到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?
傅里叶变换(Fourier
transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。

   哦,傅里叶变换原来就是一种变换而已,只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下,你就知道了,傅里叶就是一种变换,一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok,咱们再来总体了解下傅里叶变换,让各位对其有个总体大概的印象,也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式,究竟有多复杂:
以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自,维基百科)
连续傅里叶变换    一般情况下,若“傅里叶变换”一词不加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。

图片 16

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为:

图片 17

即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform
pair)。

除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面,常以图片 18来代换,而形成新的变换对:

图片 19

 或者是因系数重分配而得到新的变换对:

图片 20

 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier
Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier
transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。
分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次,其中 a
不一定要为整数;而做了分数傅里叶变换之后,信号或输入函数便会出现在介于时域(time
domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。

当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine
transform)或正弦变换(sine transform).

另一个值得注意的性质是,当f(t)为纯实函数时,F(−ω) = F*(ω)成立.

傅里叶级数    连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier
series)的推广,因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数,其傅里叶级数是存在的:

图片 21

其中Fn为复幅度。对于实值函数,函数的傅里叶级数可以写成:

图片 22
其中an和bn是实频率分量的幅度。

离散时域傅里叶变换    离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

离散傅里叶变换   
离散傅里叶变换(DFT),是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

  
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数xn定义在离散点而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换(DFT),将函数xn表示为下面的求和形式:

图片 23

其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为O(n*n),而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为O(n*lgn)。(后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为O(n*lgn)的。)计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

   下面,比较下上述傅立叶变换的4种变体,

图片 24

   如上,容易发现:函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。也就是说,时间上的离散性对应着频率上的周期性。同时,注意,离散时间傅里叶变换,时间离散,频率不离散,它在频域依然是连续的。
  
如果,读到此,你不甚明白,大没关系,不必纠结于以上4种变体,继续往下看,你自会豁然开朗。(有什么问题,也恳请提出,或者批评指正)

   ok,
本文,接下来,由傅里叶变换入手,后重点阐述离散傅里叶变换、快速傅里叶算法,到最后彻底实现FFT算法,全篇力求通俗易懂、阅读顺畅,教你从头到尾彻底理解傅里叶变换算法。
由于傅里叶变换,也称傅立叶变换,下文所称为傅立叶变换,同一个变换,不同叫法,读者不必感到奇怪。

style=”FONT-SIZE: large”>第一部分、DFT
第一章、傅立叶变换的由来
   
要理解傅立叶变换,先得知道傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
 
一、傅立叶变换的提出

    傅立叶是一位法国数学家和物理学家,原名是Jean Baptiste Joseph
Fourier(1768-1830),
Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

   
当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表,而后在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
   
谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。

   
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷多的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
   
用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正余弦曲线信号输入后,输出的仍是正余弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

二、傅立叶变换分类

二零一一年二月二十日
推荐阅读: The Scientist and Engineers Guide to Digital Signal
Processing ,By Steven W. Smith, Ph.D。 此书地址 :…

(三)总结

1、本文从傅里叶提出的想法入手,推导出傅里叶级数,进而推导出傅里叶变换。

2、本文还存在以下缺陷,会在后续的博文中解释说明,并贴在相应问题中:

    (a)未有推导出三角级数系数an,bn以及复指数系数cn表达式的由来;

    (b)未解释狄利克雷条件的限制与傅里叶的关系;

    (c)未有解释傅里叶变换的物理意义;

图片 25

可以看出,傅里叶变换的本质是内积,三角函数是完备的正交函数集,不同频率的三角函数的之间的内积为0,只有频率相等的三角函数做内积时,才不为0。

图片 26

下面从公式解释下傅里叶变换的意义

因为傅里叶变换的本质是内积,所以f(t)和

求内积的时候,只有f(t)中频率为

图片 27

的分量才会有内积的结果,其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在

图片 28

上的投影,积分值是时间从负无穷到正无穷的积分,就是把信号每个时间在

图片 29

的分量叠加起来,可以理解为f(t)在

图片 30

上的投影的叠加,叠加的结果就是频率为

图片 31

的分量,也就形成了频谱。

图片 32

傅里叶逆变换的公式为

图片 33

下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义

傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程,在

图片 34

求内积的时候,

图片 35

只有t时刻的分量内积才会有结果,其余时间分量内积结果为0,同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分,就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来,叠加的结果就是f(t)在t时刻的值,这就回到了我们观察信号最初的时域。

图片 36

对一个信号做傅里叶变换,然后直接做逆变换,这样做是没有意义的,在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉,然后再做逆变换,就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号,可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除,再做傅里叶逆变换,就得到了没有噪声的信号。

优点:频率的定位很好,通过对信号的频率分辨率很好,可以清晰的得到信号所包含的频率成分,也就是频谱。

缺点:因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加,所以,知道某一频率,不能判断,该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

例子:

平稳信号:x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)

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傅里叶变换的结果:

由于信号是平稳信号,每处的频率都相等,所以看不到傅里叶变换的缺点。

图片 38

对于非平稳信号:信号是余弦信号,仍然有四个频率分量

图片 39

傅里叶变换的结果:

图片 40

由上图看出知道某一频率,不能判断,该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

短时傅里叶变换

傅里叶变换存在着严重的缺点,就是不能实现时频联合分析。傅里叶变换要从负无穷计算到正无穷,这在实际使用当中,跟即时性分析会有很大的矛盾。根据这一缺点,提出了短时傅里叶变换。后来的时间—频率分析也是以短时傅里叶变换为基础提出的。

为了弥补傅里叶变换的缺陷,给信号加上一个窗函数,对信号加窗后计算加窗后函数的傅里叶变换,加窗后得到时间附近的很小时间上的局部谱,窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移,利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱,实现了时间局域化。

短时傅里叶变换的公式为:

图片 41

在时域用窗函数去截信号,对截下来的局部信号作傅立叶变换,即在t时刻得该段信号得傅立叶变换,不断地移动t,也即不断地移动窗函数的中心位置,即可得到不同时刻的傅立叶变换,这样就得到了时间—频率分析。

短时傅里叶变换的本质和傅里叶变换一样都是内积,只不过用

代替了

图片 42

,实现了局部信号的频谱分析。

图片 43

短时傅里叶变换的另一种形式:

图片 44

该式子表明在时域里

加窗函数

图片 45

,得出在频域里对

图片 46

加窗

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优点:在傅里叶变换的基础上,增加了窗函数,就实现了时间—频率分析。

缺点:短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数,窗函数一旦确定了以后,其形状就不再发生改变,短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率,则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可,但是对于非平稳信号,当信号变化剧烈时,要求窗函数有较高的时间分辨率;而波形变化比较平缓的时刻,主要是低频信号,则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。测不准原理告诉我们,不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号,因此就必须在信号的分析上对时间或者频率的精度做取舍。短时傅里叶变换受到测不准原理的限制,所以短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。在实际使用时,根据实际情况选用合适的窗函数。

例子:

原始信号:信号是余弦信号,有四个频率分量.

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当窗函数选为:

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时,短时傅里叶变换为:

图片 51

由上图可以看出,时域的分辨率比较好,但是频率出现一定宽度的带宽,也就是说频率分辨率差;

当窗函数选择为:

图片 52

时,短时傅里叶变换为:

图片 53

由上图可以看出,频率的分辨率比较好,但是时域分辨率差,有点接近傅里叶变换。有上图可以看到短时傅里叶变换的缺点。

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